Đại số tuyến tính Ví dụ

$2 x - y + 7 z = - 8$ , $6 x - 8 y + 3 z = 2$ , $9 y - 3 z = - 6$

Bước 1

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} 2 & - 1 & 7 & - 8 \\ 6 & - 8 & 3 & 2 \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{7}{2} & \frac{- 8}{2} \\ 6 & - 8 & 3 & 2 \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 6 & - 8 & 3 & 2 \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 8 - 6 (- \frac{1}{2}) & 3 - 6 (\frac{7}{2}) & 2 - 6 \cdot - 4 \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & - 5 & - 18 & 26 \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 18 & - \frac{1}{5} \cdot 26 \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & 1 & \frac{18}{5} & - \frac{26}{5} \\ 0 & 9 & - 3 & - 6 \end{array}]$

Bước 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 9 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & 1 & \frac{18}{5} & - \frac{26}{5} \\ 0 - 9 \cdot 0 & 9 - 9 \cdot 1 & - 3 - 9 (\frac{18}{5}) & - 6 - 9 (- \frac{26}{5}) \end{array}]$

Bước 2.4.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & 1 & \frac{18}{5} & - \frac{26}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{177}{5} & \frac{204}{5} \end{array}]$

Bước 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{5}{177}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{5}{177}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & 1 & \frac{18}{5} & - \frac{26}{5} \\ - \frac{5}{177} \cdot 0 & - \frac{5}{177} \cdot 0 & - \frac{5}{177} (- \frac{177}{5}) & - \frac{5}{177} \cdot \frac{204}{5} \end{array}]$

Bước 2.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & 1 & \frac{18}{5} & - \frac{26}{5} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{18}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{18}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 - \frac{18}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{18}{5} \cdot 0 & \frac{18}{5} - \frac{18}{5} \cdot 1 & - \frac{26}{5} - \frac{18}{5} (- \frac{68}{59}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 2.6.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{7}{2} & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{62}{59} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{2} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{7}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & - 4 - \frac{7}{2} (- \frac{68}{59}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{62}{59} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 2.7.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{2}{59} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{62}{59} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{2}{59} + \frac{1}{2} (- \frac{62}{59}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{62}{59} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 2.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{29}{59} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{62}{59} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{68}{59} \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = - \frac{29}{59}$

$y = - \frac{62}{59}$

$z = - \frac{68}{59}$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(- \frac{29}{59}, - \frac{62}{59}, - \frac{68}{59})$

Bước 5

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{29}{59} \\ - \frac{62}{59} \\ - \frac{68}{59} \end{array}]$